Série 2 — constructions, coordonnées et démonstrations.
Exercice 1
Dans un repère, placer \(A(2\,;3)\), \(B(-1\,;4)\) et \(O\) l'origine. Donner les coordonnées de \(A'\) et \(B'\), images de \(A\) et \(B\) par la symétrie de centre \(O\), puis vérifier que \(A'B' = AB\).
Correction
\(A'(-2\,;-3)\) et \(B'(1\,;-4)\). Le segment \([A'B']\) se déduit de \([AB]\) par un demi-tour, donc \(A'B' = AB\).
Exercice 2
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Quelle est l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(O\) ? Et celle du segment \([AB]\) ?
Correction
L'image de \(A\) est \(C\) (les diagonales se coupent en leur milieu). L'image de \([AB]\) est \([CD]\).
Exercice 3
\(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\), et \(M''\) le symétrique de \(M'\) par rapport à \(O\). Que peut-on dire de \(M''\) ?
Correction
\(M'' = M\) : appliquer deux fois la même symétrie centrale ramène au point de départ.
Exercice 4
Soit \((D)\) une droite passant par \(O\). Quelle est l'image de \((D)\) par la symétrie de centre \(O\) ?
Correction
C'est \((D)\) elle-même : toute droite passant par le centre est globalement invariante.
Exercice 5
\(ABC\) est un triangle et \(A'B'C'\) son image par la symétrie de centre \(O\). On donne \(AB = 6\) cm, \(BC = 8\) cm et \(AC = 5\) cm.
- Calculer le périmètre de \(A'B'C'\).
- Si l'aire de \(ABC\) est \(14\ \mathrm{cm}^2\), donner celle de \(A'B'C'\).
Correction
- \(6 + 8 + 5 = 19\) cm.
- \(14\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 6
Construire un segment \([AB]\) de \(6\) cm et un point \(O\) hors de la droite \((AB)\). Construire \([A'B']\), image de \([AB]\). Que peut-on dire des droites \((AB)\) et \((A'B')\) ?
Correction
Elles sont parallèles : l'image d'une droite par une symétrie centrale lui est parallèle.
Exercice 7
Parmi les lettres majuscules \(H\), \(N\), \(S\), \(A\), \(T\), lesquelles ont un centre de symétrie ?
Correction
\(H\), \(N\) et \(S\) en ont un ; \(A\) et \(T\) n'en ont pas (elles ont seulement un axe de symétrie).