Série 2 — constructions, aires et raisonnements.
Exercice 1
\(ABC\) est un triangle avec \(\widehat{A} = 64°\) et \(\widehat{B} = 52°\). Les bissectrices de \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) se coupent en \(I\).
- Calculer \(\widehat{IAB}\) et \(\widehat{IBA}\).
- En déduire \(\widehat{AIB}\).
Correction
- \(\widehat{IAB} = 32°\) et \(\widehat{IBA} = 26°\).
- Dans le triangle \(AIB\) : \(\widehat{AIB} = 180 - 32 - 26 = 122°\).
Exercice 2
Un triangle \(ABC\) a pour aire \(30\ \mathrm{cm}^2\). On donne \(BC = 10\) cm et \(AC = 12\) cm.
- Calculer la hauteur issue de \(A\).
- Calculer la hauteur issue de \(B\).
Correction
- \(h_A = \dfrac{2\times30}{10} = 6\) cm.
- \(h_B = \dfrac{2\times30}{12} = 5\) cm.
Exercice 3
\(ABC\) est isocèle en \(A\). Montrer que la hauteur issue de \(A\) passe par le milieu de \([BC]\).
Correction
Dans un triangle isocèle en \(A\), la hauteur issue de \(A\) est aussi médiatrice de \([BC]\) : elle est perpendiculaire à \([BC]\) et passe par son milieu.
Exercice 4
Construire un triangle \(ABC\) avec \(BC = 8\) cm, \(\widehat{B} = 40°\) et \(\widehat{C} = 30°\), puis tracer la hauteur issue de \(A\) et le cercle inscrit.
Correction
Après la construction du triangle, la hauteur issue de \(A\) est la perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\) ; le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrices de \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\), et le rayon est la distance de ce point à \((BC)\).
Exercice 5
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm, on sait que \(BC = 10\) cm.
- Calculer l'aire du triangle de deux façons.
- En déduire la hauteur issue de \(A\).
Correction
- \(\mathcal{A} = \dfrac{6\times8}{2} = 24\ \mathrm{cm}^2\), et aussi \(\mathcal{A} = \dfrac{10\times AH}{2}\).
- \(\dfrac{10\times AH}{2} = 24\) donne \(AH = 4{,}8\) cm.
Exercice 6
Vrai ou faux ? Dans tout triangle, les quatre points remarquables (orthocentre, centre de gravité, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit) sont confondus.
Correction
Faux en général : ils ne sont confondus que dans un triangle équilatéral.