1. Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Si \([Oz)\) est la bissectrice de \(\widehat{xOy}\), alors \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \frac{\widehat{xOy}}{2}\).
Propriété : tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des deux côtés de cet angle.
Bissectrices d'un triangle
Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point \(I\), centre du cercle inscrit dans le triangle (cercle tangent aux trois côtés).
2. Hauteurs d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Le point d'intersection avec le côté opposé est le pied de la hauteur.
Propriété : les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point \(H\) appelé orthocentre.
Figure — bissectrice d'un angle et hauteurs d'un triangle
Cas particuliers
- Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le sommet de l'angle droit.
- Dans un triangle ayant un angle obtus, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
- Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice de la base et bissectrice de l'angle au sommet.
Aire d'un triangle
\[\mathcal{A} = \frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\]