Série 2 — raisonnements en plusieurs étapes et constructions.
Exercice 1
Dans un triangle \(ABC\), \(\widehat{A}\) est le double de \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C} = 60°\). Calculer \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\).
Correction
\(\widehat{A} + \widehat{B} = 120°\) avec \(\widehat{A} = 2\widehat{B}\), donc \(3\widehat{B} = 120\), \(\widehat{B} = 40°\) et \(\widehat{A} = 80°\).
Exercice 2
\(ABC\) est isocèle en \(A\). La bissectrice de \(\widehat{A}\) coupe \([BC]\) en \(I\).
- Montrer que \(I\) est le milieu de \([BC]\).
- Que peut-on dire de \((AI)\) et \((BC)\) ?
Correction
- Dans un triangle isocèle, la bissectrice issue du sommet principal est aussi médiane : \(I\) est le milieu de \([BC]\).
- Elle est aussi hauteur : \((AI)\perp(BC)\).
Exercice 3
Les trois angles d'un triangle sont proportionnels à \(1\) ; \(2\) et \(3\). Les calculer et donner la nature du triangle.
Correction
\(x + 2x + 3x = 180\) donc \(6x = 180\) et \(x = 30\) : les angles sont \(30°\), \(60°\) et \(90°\). Le triangle est rectangle.
Exercice 4
Dans un triangle \(ABC\), l'angle extérieur en \(C\) mesure \(115°\) (angle supplémentaire de \(\widehat{C}\)). On donne \(\widehat{A} = 48°\).
- Calculer \(\widehat{C}\).
- En déduire \(\widehat{B}\).
Correction
- \(\widehat{C} = 180 - 115 = 65°\).
- \(\widehat{B} = 180 - 48 - 65 = 67°\).
Exercice 5
Construire un triangle \(ABC\) tel que \(BC = 7\) cm, \(\widehat{B} = 50°\) et \(\widehat{C} = 60°\). Décrire les étapes, puis calculer \(\widehat{A}\).
Correction
On trace \([BC]\) de \(7\) cm, puis l'angle de \(50°\) en \(B\) et de \(60°\) en \(C\) ; les deux demi-droites se coupent en \(A\). On a \(\widehat{A} = 180 - 50 - 60 = 70°\).
Exercice 6
\(ABC\) est un triangle isocèle en \(A\) de périmètre \(32\) cm, avec \(BC = 12\) cm. Calculer \(AB\) et \(AC\).
Correction
\(AB + AC = 32 - 12 = 20\) cm, et \(AB = AC\), donc \(AB = AC = 10\) cm.
Exercice 7
Un triangle a un angle de \(100°\). Peut-il être isocèle ? Si oui, donner les deux autres angles.
Correction
Oui : les deux autres angles sont alors égaux et valent \(\dfrac{180 - 100}{2} = 40°\) chacun. Il est isocèle au sommet de l'angle de \(100°\).