1. Définition
Pour un nombre \(a\) et un entier \(n\ge1\) :
\[a^n = \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}\]
\(a^n\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ; \(n\) est l'exposant. Par convention \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a\neq0\)).
- \(a^2\) se lit « \(a\) au carré », \(a^3\) « \(a\) au cube ».
- Attention : \((-3)^2 = 9\) mais \(-3^2 = -9\).
2. Signe d'une puissance
Si \(a > 0\), \(a^n\) est positif. Si \(a < 0\) : \(a^n\) est positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair.
\((-2)^4 = 16\) et \((-2)^3 = -8\).
3. Puissances de 10
\(10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}\) ; \(10^3 = 1000\), \(10^6 = 1\,000\,000\).
4. Propriétés (pour \(a\), \(b\) non nuls, \(m\) et \(n\) entiers)
\[a^m\times a^n = a^{m + n} \qquad a^n\times b^n = (ab)^n \qquad (a^m)^n = a^{m\times n}\]
\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\ (m\ge n) \qquad \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\]
Exemples
- \(2^3\times2^4 = 2^7 = 128\).
- \((5^2)^3 = 5^6\).
- \(\frac{7^8}{7^5} = 7^3 = 343\).
- \(4^3\times25^3 = (4\times25)^3 = 100^3 = 10^6\).