Série 2 — calculs combinés, ordres de grandeur et situations concrètes.
Exercice 1
Écrire sous la forme d'une seule puissance : \(A = \dfrac{5^8\times5^3}{5^{10}}\) et \(B = \dfrac{(2^3)^4}{2^7}\).
Correction
\(A = \dfrac{5^{11}}{5^{10}} = 5^1 = 5\) ; \(B = \dfrac{2^{12}}{2^7} = 2^5 = 32\).
Exercice 2
Calculer \(C = 4^3\times25^3\) en remarquant que les exposants sont égaux.
Correction
\(C = (4\times25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Exercice 3
Calculer \(D = 2^3 + 3^2 - (-2)^2\) et \(E = (3 + 2)^2 - 3^2 - 2^2\).
Correction
\(D = 8 + 9 - 4 = 13\) ; \(E = 25 - 9 - 4 = 12\).
Exercice 4
Donner l'écriture scientifique du résultat : \(F = (3\times10^5)\times(2\times10^{-8})\).
Correction
\(F = 6\times10^{-3}\).
Exercice 5
La masse de la Terre est d'environ \(5{,}97\times10^{24}\) kg et celle de la Lune \(7{,}35\times10^{22}\) kg.
- Quelle masse est la plus grande ?
- Environ combien de fois ?
Correction
- Celle de la Terre : \(10^{24}\) est bien plus grand que \(10^{22}\).
- \(\dfrac{5{,}97\times10^{24}}{7{,}35\times10^{22}}\approx0{,}81\times10^{2}\approx81\) fois.
Exercice 6
Une feuille de papier a une épaisseur de \(0{,}1\) mm. On la plie \(10\) fois : à chaque pli l'épaisseur double.
- Écrire l'épaisseur finale avec une puissance de \(2\).
- Calculer cette épaisseur en mm puis en cm.
Correction
- \(0{,}1\times2^{10}\) mm.
- \(2^{10} = 1\,024\) donc \(0{,}1\times1\,024 = 102{,}4\) mm, soit \(10{,}24\) cm.
Exercice 7
Comparer sans calculatrice : \(2^{10}\) et \(10^3\).
Correction
\(2^{10} = 1\,024\) et \(10^3 = 1\,000\), donc \(2^{10} > 10^3\).