Série 2 — paramètres de position et de dispersion, séries groupées.
Exercice 1
Une série est donnée par le tableau suivant.
| Valeur | Effectif |
|---|---|
| \(4\) | \(3\) |
| \(7\) | \(6\) |
| \(9\) | \(8\) |
| \(12\) | \(3\) |
- Calculer l'effectif total et la moyenne.
- Déterminer le mode et la médiane.
Correction
- \(N = 20\) ; moyenne \(= \dfrac{12 + 42 + 72 + 36}{20} = \dfrac{162}{20} = 8{,}1\).
- Mode : \(9\). Effectifs cumulés : \(3\), \(9\), \(17\), \(20\) ; les rangs \(10\) et \(11\) valent \(9\) : la médiane est \(9\).
Exercice 2
Pour la série de l'exercice 1, calculer la variance puis l'écart-type (à \(0{,}01\) près).
Correction
\(V = \dfrac{3(4-8{,}1)^2 + 6(7-8{,}1)^2 + 8(9-8{,}1)^2 + 3(12-8{,}1)^2}{20}\) \(= \dfrac{3\times16{,}81 + 6\times1{,}21 + 8\times0{,}81 + 3\times15{,}21}{20} = \dfrac{50{,}43 + 7{,}26 + 6{,}48 + 45{,}63}{20} = \dfrac{109{,}8}{20} = 5{,}49\). L'écart-type vaut \(\sigma = \sqrt{5{,}49}\approx2{,}34\).
Exercice 3
Déterminer les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) ainsi que l'écart interquartile de la série ordonnée : \(3\,;5\,;6\,;8\,;9\,;11\,;12\,;15\).
Correction
\(N = 8\) : \(\dfrac{N}{4} = 2\), donc \(Q_1\) est la 2e valeur, soit \(5\) ; \(\dfrac{3N}{4} = 6\), donc \(Q_3\) est la 6e valeur, soit \(11\). L'écart interquartile vaut \(Q_3 - Q_1 = 6\).
Exercice 4
Une série est groupée en classes.
| Classe | Effectif |
|---|---|
| \([0\,;20[\) | \(12\) |
| \([20\,;40[\) | \(28\) |
| \([40\,;60[\) | \(10\) |
Calculer la moyenne et préciser la classe modale.
Correction
Centres : \(10\), \(30\), \(50\) ; moyenne \(= \dfrac{120 + 840 + 500}{50} = \dfrac{1\,460}{50} = 29{,}2\). Classe modale : \([20\,;40[\).
Exercice 5
Deux classes de \(20\) et \(30\) élèves ont pour moyennes respectives \(12\) et \(14\). Calculer la moyenne générale des \(50\) élèves.
Correction
\(\dfrac{20\times12 + 30\times14}{50} = \dfrac{240 + 420}{50} = \dfrac{660}{50} = 13{,}2\).
Exercice 6
Deux séries ont la même moyenne \(10\), mais des écarts-types de \(1{,}2\) et \(4{,}5\). Que peut-on en dire ?
Correction
La première série est beaucoup plus homogène : ses valeurs sont resserrées autour de la moyenne, alors que celles de la seconde sont très dispersées.
Exercice 7
On ajoute \(3\) à toutes les valeurs d'une série de moyenne \(8\) et d'écart-type \(2\). Que deviennent la moyenne et l'écart-type ?
Correction
La moyenne devient \(11\) ; l'écart-type reste inchangé, car la dispersion n'a pas changé.