1. Vocabulaire
Une série statistique étudie un caractère (quantitatif discret, quantitatif continu ou qualitatif) sur une population. Pour chaque valeur \(x_i\) : l'effectif \(n_i\), la fréquence \(f_i = \frac{n_i}{N}\) où \(N\) est l'effectif total.
Effectifs cumulés
L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales.
2. Paramètres de position
Moyenne : \(\bar x = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_px_p}{N}\). Pour des classes, on utilise les centres des classes.
Médiane \(Me\) : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
3. Paramètres de dispersion
Étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur.
Variance : \(V = \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar x)^2 = \frac{1}{N}\sum n_ix_i^2 - \bar x^2\).
Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V}\).
Plus l'écart-type est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne.
4. Exemple
| \(x_i\) | \(8\) | \(10\) | \(12\) | \(14\) |
|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(1\) |
\(N = 10\), \(\bar x = \frac{16 + 30 + 48 + 14}{10} = 10{,}8\). \(\sum n_ix_i^2 = 128 + 300 + 576 + 196 = 1200\), donc \(V = 120 - 10{,}8^2 = 120 - 116{,}64 = 3{,}36\) et \(\sigma = \sqrt{3{,}36}\approx1{,}83\).