Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube.
- Donner la position relative de \((AE)\) et \((BC)\). (2 pts)
- Montrer que les plans \((ABF)\) et \((DCG)\) sont parallèles. (3 pts)
Correction
- Elles ne sont pas coplanaires ; elles sont de plus orthogonales.
- \((AB)\) et \((AF)\) sont sécantes dans \((ABF)\) et respectivement parallèles à \((DC)\) et \((DG)\) : les plans sont parallèles.
Exercice 2 (5 pts)
Un cube a une arête de \(4\) cm.
- Calculer la diagonale d'une face. (2 pts)
- Calculer la grande diagonale du cube. (3 pts)
Correction
- \(4\sqrt2 \approx 5{,}66\) cm.
- \(4\sqrt3 \approx 6{,}93\) cm.
Exercice 3 (5 pts)
Une pyramide régulière à base carrée a une base de côté \(10\) cm et une hauteur de \(12\) cm.
- Calculer son volume. (2 pts)
- Calculer son apothème et son aire latérale. (3 pts)
Correction
- \(\mathcal{V} = \dfrac{100\times12}{3} = 400\) cm³.
- Apothème \(= \sqrt{144 + 25} = 13\) cm ; aire latérale \(= \dfrac{40\times13}{2} = 260\) cm².
Exercice 4 (5 pts)
Un cône de révolution a un rayon de \(9\) cm et une génératrice de \(15\) cm.
- Calculer sa hauteur. (2 pts)
- Calculer son volume et son aire totale. (3 pts)
Correction
- \(h = \sqrt{225 - 81} = 12\) cm.
- \(\mathcal{V} = \dfrac{\pi\times81\times12}{3} = 324\pi\) cm³ ; aire totale \(= \pi\times81 + \pi\times9\times15 = 216\pi\) cm².