Exercice 1
\(ABCDEFGH\) est un cube (\(ABCD\) et \(EFGH\) faces opposées, \((AE)\), \((BF)\), \((CG)\), \((DH)\) arêtes parallèles). Donner la position relative de : (a) \((AB)\) et \((HG)\) ; (b) \((AB)\) et \((CG)\) ; (c) \((AE)\) et le plan \((ABC)\) ; (d) les plans \((ABC)\) et \((EFG)\).
Correction
(a) parallèles (\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{HG}\)). (b) non coplanaires (orthogonales). (c) \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), sécante en \(A\). (d) plans parallèles.
Exercice 2
Dans le cube \(ABCDEFGH\) d'arête \(a\), calculer \(AC\) puis \(AG\).
Correction
\(ABC\) rectangle en \(B\) : \(AC = a\sqrt2\). \((CG)\perp(ABC)\) donc \(ACG\) est rectangle en \(C\) : \(AG^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2\), \(AG = a\sqrt3\).
Exercice 3
\(SABCD\) est une pyramide de base le carré \(ABCD\). Déterminer l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
Correction
\(S\) est commun aux deux plans. \((AB)\parallel(CD)\) : la droite d'intersection passe par \(S\) et est parallèle à \((AB)\) (théorème du toit).
Exercice 4
Une pyramide régulière a une base carrée de côté \(6\) cm et une hauteur de \(4\) cm. Calculer son volume, puis la longueur de l'apothème (hauteur d'une face issue du sommet).
Correction
\(V = \frac13\times36\times4 = 48\) cm³. Apothème : \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) cm (triangle rectangle formé par la hauteur, la demi-arête de base et l'apothème).