Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit avec \(AB = 4\), \(AD = 3\) et \(AE = 12\).
- Montrer que \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
- Calculer \(AC\) puis \(AG\).
- Quelle est la position relative des plans \((ADH)\) et \((BCG)\) ?
Correction
- \((AE)\perp(AB)\) et \((AE)\perp(AD)\), deux droites sécantes du plan \((ABC)\) : \((AE)\perp(ABC)\).
- \(AC = \sqrt{16 + 9} = 5\) ; \(ACG\) rectangle en \(C\) : \(AG = \sqrt{25 + 144} = 13\).
- Ce sont deux faces opposées : plans parallèles.
Exercice 2 (6 pts)
Un cône de révolution a pour rayon \(3\) cm et pour génératrice \(5\) cm. Calculer sa hauteur et son volume (valeur exacte).
Correction
\(h = \sqrt{25 - 9} = 4\) cm ; \(V = \frac13\pi\times9\times4 = 12\pi\) cm³.
Exercice 3 (6 pts)
Vrai ou faux ? Justifier.
- Deux droites qui n'ont aucun point commun sont parallèles.
- Par trois points distincts passe toujours un seul plan.
- Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, elle est perpendiculaire à ce plan.
Correction
- Faux : elles peuvent être non coplanaires.
- Faux : si les points sont alignés, il en passe une infinité.
- Vrai (c'est le critère d'orthogonalité droite-plan).