L'essentiel en une page
Les ensembles : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel (par exemple \(\sqrt2\), \(\pi\)).
| Intervalle | Signification |
|---|---|
| \([a\,;b]\) | \(a \le x \le b\) |
| \(]a\,;b[\) | \(a < x < b\) |
| \([a\,;+\infty[\) | \(x \ge a\) |
| \(]-\infty\,;b]\) | \(x \le b\) |
Valeur absolue : \(\lvert x\rvert = x\) si \(x \ge 0\), et \(-x\) si \(x < 0\). C'est la distance de \(x\) à \(0\) ; \(\lvert x - a\rvert\) est la distance de \(x\) à \(a\).
| Équation ou inéquation | Solution |
|---|---|
| \(\lvert x\rvert = a\) (avec \(a \ge 0\)) | \(x = a\) ou \(x = -a\) |
| \(\lvert x\rvert \le a\) | \(-a \le x \le a\) |
| \(\lvert x\rvert \ge a\) | \(x \le -a\) ou \(x \ge a\) |
Encadrement : on additionne les encadrements ; pour soustraire, on encadre d'abord l'opposé ; multiplier par un négatif inverse l'encadrement.
Radicaux : \(\sqrt{a^2b} = a\sqrt b\) (pour \(a \ge 0\)) ; pour rationaliser, on multiplie par le conjugué.
Ce que je dois savoir faire
- Passer d'une inégalité à un intervalle, et réciproquement.
- Calculer une intersection et une réunion d'intervalles.
- Résoudre une équation ou une inéquation avec valeur absolue.
- Encadrer une somme, une différence, un produit par un réel.
- Simplifier et rationaliser une expression avec radicaux.
Les pièges à éviter
- \(\lvert x\rvert \ge a\) donne une réunion, pas un intervalle unique.
- Pour \(a - b\), on n'enlève pas les bornes : on encadre \(-b\) d'abord.
- \(\sqrt{a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b\).
- \(\lvert x\rvert = -3\) n'a aucune solution.
Testez-vous en 3 minutes
Résoudre \(\lvert x + 2\rvert = 5\) ; traduire \(\lvert x - 4\rvert < 1\) ; simplifier \(\sqrt{45}\) ; encadrer \(x - y\) pour \(0<x<3\) et \(1<y<2\).
Réponses
\(x = 3\) ou \(x = -7\) ; \(]3\,;5[\) ; \(3\sqrt5\) ; \(-2 < x - y < 2\).