Série 2 — sections, réductions et problèmes de volumes.
Exercice 1
Une sphère de centre \(O\) a pour rayon \(R = 17\) cm. Un plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(8\) cm.
- Calculer la distance du plan au centre.
- Le plan passe-t-il par le centre ? Justifier.
Correction
- \(d = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) cm.
- Non : s'il passait par le centre, on aurait \(d = 0\) et la section serait un grand cercle de rayon \(17\) cm.
Exercice 2
Un cône de révolution a pour hauteur \(15\) cm et pour rayon de base \(6\) cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à \(10\) cm du sommet.
- Calculer le rapport de réduction.
- Calculer le rayon de la section.
- Calculer le volume du petit cône (valeur exacte).
Correction
- \(k = \dfrac{10}{15} = \dfrac23\).
- \(6\times\dfrac23 = 4\) cm.
- Volume du grand cône : \(\dfrac{\pi\times36\times15}{3} = 180\pi\) ; celui du petit : \(180\pi\times\left(\dfrac23\right)^3 = 180\pi\times\dfrac{8}{27} = \dfrac{160\pi}{3}\approx167{,}5\) cm³.
Exercice 3
Une boule a pour volume \(288\pi\) cm³. Calculer son rayon puis son aire.
Correction
\(\dfrac43\pi R^3 = 288\pi\) donne \(R^3 = 216\) et \(R = 6\) cm ; l'aire vaut \(4\pi\times36 = 144\pi \approx 452\) cm².
Exercice 4
Un réservoir cylindrique a un rayon de \(50\) cm et une hauteur de \(120\) cm.
- Calculer son volume en cm³ (valeur exacte).
- Convertir en litres, sachant que \(1\) L \(= 1\,000\) cm³, avec \(\pi\approx3{,}14\).
Correction
- \(\pi\times2\,500\times120 = 300\,000\pi\) cm³.
- \(300\,000\times3{,}14 = 942\,000\) cm³, soit environ \(942\) L.
Exercice 5
Une pyramide de base carrée a une hauteur de \(9\) cm et un côté de base de \(8\) cm. On la coupe à \(6\) cm du sommet par un plan parallèle à la base.
- Calculer le rapport de réduction.
- Calculer le côté de la section puis son aire.
- Calculer le volume de la petite pyramide.
Correction
- \(k = \dfrac69 = \dfrac23\).
- Côté : \(8\times\dfrac23 = \dfrac{16}{3}\approx5{,}33\) cm ; aire : \(64\times\dfrac49 = \dfrac{256}{9}\approx28{,}4\) cm².
- Volume de la grande pyramide : \(\dfrac{64\times9}{3} = 192\) cm³ ; celui de la petite : \(192\times\dfrac{8}{27} = \dfrac{512}{9}\approx56{,}9\) cm³.
Exercice 6
Une bille sphérique de rayon \(2\) cm est plongée dans un verre cylindrique de rayon \(4\) cm rempli d'eau.
- Calculer le volume de la bille (valeur exacte).
- De quelle hauteur le niveau d'eau monte-t-il ?
Correction
- \(\dfrac43\pi\times8 = \dfrac{32\pi}{3}\) cm³.
- L'eau déplacée occupe un cylindre de rayon \(4\) : \(16\pi h = \dfrac{32\pi}{3}\), donc \(h = \dfrac{2}{3}\approx0{,}67\) cm.
Exercice 7
Deux solides sont semblables de rapport \(k\). Le volume du petit est \(5\) cm³ et celui du grand \(135\) cm³.
- Calculer \(k\).
- Si l'aire du petit est \(9\) cm², calculer celle du grand.
Correction
- \(k^3 = \dfrac{135}{5} = 27\), donc \(k = 3\).
- \(9\times9 = 81\) cm².