Durée : 45 minutes. Barème sur 20. Les valeurs exactes sont demandées, sauf indication contraire.
Exercice 1 (5 pts)
Une sphère a pour rayon \(R = 6\) cm.
- Calculer son aire. (2 pts)
- Calculer le volume de la boule correspondante. (3 pts)
Correction
- \(4\pi\times36 = 144\pi \approx 452\) cm².
- \(\dfrac43\pi\times216 = 288\pi \approx 904\) cm³.
Exercice 2 (5 pts)
Une sphère de centre \(O\) a pour rayon \(10\) cm. Un plan passe à \(6\) cm du centre.
- Calculer le rayon de la section. (3 pts)
- Quelle est la nature de la section si le plan passe par \(O\), et quel est alors son rayon ? (2 pts)
Correction
- \(r = \sqrt{100 - 36} = 8\) cm.
- C'est un grand cercle, de rayon \(10\) cm.
Exercice 3 (6 pts)
Un cône de révolution a pour rayon de base \(9\) cm et pour hauteur \(12\) cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à \(8\) cm du sommet.
- Calculer le volume du grand cône. (2 pts)
- Calculer le rapport de réduction, puis le rayon de la section. (2 pts)
- Calculer le volume du petit cône. (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{\pi\times81\times12}{3} = 324\pi\) cm³.
- \(k = \dfrac{8}{12} = \dfrac23\) ; rayon de la section : \(9\times\dfrac23 = 6\) cm.
- \(324\pi\times\dfrac{8}{27} = 96\pi \approx 301{,}6\) cm³.
Exercice 4 (4 pts)
Un solide est agrandi dans le rapport \(k = 2{,}5\).
- Son aire mesurait \(8\) cm² : quelle est la nouvelle aire ? (2 pts)
- Son volume mesurait \(4\) cm³ : quel est le nouveau volume ? (2 pts)
Correction
- \(8\times2{,}5^2 = 8\times6{,}25 = 50\) cm².
- \(4\times2{,}5^3 = 4\times15{,}625 = 62{,}5\) cm³.