1. Rappels : volumes
| Solide | Volume |
|---|---|
| Prisme droit, cylindre | \(V = \text{aire de la base}\times h\) |
| Pyramide, cône | \(V = \frac13\times\text{aire de la base}\times h\) |
Cylindre de rayon \(r\) : \(V = \pi r^2h\) ; cône : \(V = \frac13\pi r^2h\).
2. Sphère et boule
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(OM = R\). La boule est l'ensemble des points tels que \(OM\le R\).
$\(\text{Aire de la sphère : } S = 4\pi R^2 \qquad \text{Volume de la boule : } V = \frac43\pi R^3\)$
Exemple : \(R = 3\) cm : \(S = 36\pi\approx113{,}1\) cm² et \(V = 36\pi\approx113{,}1\) cm³.
3. Section d'une sphère par un plan
La section d'une sphère de rayon \(R\) par un plan situé à la distance \(d < R\) du centre est un cercle de rayon \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\).
Figure — section d'une sphère par un plan : r² = R² − d²
4. Agrandissement et réduction
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport \(k\) :
- les longueurs sont multipliées par \(k\) ;
- les aires sont multipliées par \(k^2\) ;
- les volumes sont multipliés par \(k^3\).
La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base ; le petit solide obtenu est une réduction du grand.