Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
\(SABCD\) est une pyramide régulière de base le carré \(ABCD\) de côté \(6\) cm et de hauteur \(SO = 4\) cm (\(O\) centre du carré).
- Calculer son volume. (3 pts)
- Calculer \(OA\) puis \(SA\). (4 pts)
- On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le point \(O'\) de \([SO]\) tel que \(SO' = 1\) cm. Calculer le volume de la petite pyramide et le côté de sa base. (3 pts)
Correction
- \(V = \frac13\times36\times4 = 48\) cm³.
- \(AC = 6\sqrt2\), donc \(OA = 3\sqrt2\) cm ; \(SA = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}\approx5{,}83\) cm.
- Rapport \(k = \frac14\) : \(V' = 48\times\frac{1}{64} = 0{,}75\) cm³ ; côté \(6\times\frac14 = 1{,}5\) cm.
Exercice 2 (10 pts)
Une sphère a un rayon de \(6\) cm.
- Calculer son aire et le volume de la boule correspondante. (4 pts)
- Un plan coupe la sphère à \(4\) cm du centre. Calculer le rayon et l'aire de la section. (4 pts)
- On double le rayon de la boule. Par combien son volume est-il multiplié ? (2 pts)
Correction
- \(S = 144\pi\approx452{,}4\) cm² ; \(V = 288\pi\approx904{,}8\) cm³.
- \(r = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5\) cm ; aire \(= \pi r^2 = 20\pi\approx62{,}8\) cm².
- \(k = 2\) : le volume est multiplié par \(2^3 = 8\).