L'essentiel en une page
| Théorème | Énoncé |
|---|---|
| Convergence monotone | croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge |
| Gendarmes | \(v_n \le u_n \le w_n\), même limite |
| Comparaison | \(u_n \ge v_n \to +\infty \Rightarrow u_n \to +\infty\) |
| Suites adjacentes | \(u\) croît, \(v\) décroît, \(v_n - u_n \to 0\) |
| Point fixe | \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(f\) continue : \(\ell = f(\ell)\) |
Inégalité de Bernoulli : \((1+x)^n \ge 1 + nx\) pour \(x \ge -1\).
Limite d'une géométrique : \(0\) si \(\lvert q\rvert<1\) ; \(+\infty\) si \(q>1\) ; pas de limite si \(q\le-1\).
Méthode des trois temps : encadrement par récurrence, puis monotonie, puis convergence monotone — et enfin point fixe pour la valeur.
Ce que je dois savoir faire
- Démontrer un encadrement stable par récurrence.
- Étudier la monotonie, y compris par le signe de \(u_{n+1}^2 - u_n^2\).
- Conclure sur la convergence et calculer la limite.
- Reconnaître des suites adjacentes.
- Démontrer une formule de somme par récurrence.
Les pièges à éviter
- La convergence monotone donne l'existence, pas la valeur.
- Le point fixe peut avoir plusieurs solutions : utiliser l'encadrement pour trancher.
- Pour \(u_{n+1}^2 - u_n^2\), vérifier que les termes sont positifs.
- L'hypothèse de récurrence doit être exploitée dans l'hérédité.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim\left(\frac47\right)^n\) ? Point fixe de \(f(x)=\sqrt{x+2}\) ? Deux suites adjacentes convergent… ? Bernoulli pour \(x = 1\) et \(n = 3\) ?
Réponses
\(0\) ; \(\ell = 2\) ; vers la même limite ; \(2^3 = 8 \ge 4\).