Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+3n}{n^2-1}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{5^n}{5^n+3^n}\) (3 pts)
Correction
- \(2\).
- \(\dfrac{1}{1+\left(\frac35\right)^n} \to 1\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).
- Montrer par récurrence que \(0 \le u_n \le 2\). (3 pts)
- Montrer que \((u_n)\) est croissante. (3 pts)
- En déduire qu'elle converge et calculer sa limite. (2 pts)
Correction
- \(u_0 = 0\) ; si \(0 \le u_n \le 2\), alors \(2 \le u_n+2 \le 4\), donc \(\sqrt2 \le u_{n+1} \le 2\).
- \(u_{n+1}^2 - u_n^2 = u_n + 2 - u_n^2 = -(u_n-2)(u_n+1) \ge 0\) pour \(u_n \le 2\).
- Croissante et majorée : elle converge vers \(\ell\) vérifiant \(\ell = \sqrt{\ell+2}\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\) : \(\ell = 2\).
Exercice 3 (7 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[\sum_{k=0}^{n} k\,2^k = (n-1)2^{n+1} + 2\]
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : le membre de gauche vaut \(0\) et celui de droite \(-2 + 2 = 0\) ✓. Hérédité. \((n-1)2^{n+1} + 2 + (n+1)2^{n+1} = 2n\,2^{n+1} + 2 = n\,2^{n+2} + 2\), qui est bien la formule au rang \(n+1\).