Série 2 — convergence, suites adjacentes et récurrences.
Exercice 1
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 4}{u_n + 3}\).
- Montrer que \(1 \le u_n \le 2\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction
- Si \(1 \le u_n \le 2\), alors \(u_{n+1} = 3 - \dfrac{5}{u_n+3}\), et \(u_n + 3 \in [4\,;5]\), donc \(u_{n+1}\in\left[3 - \dfrac54\,;3-1\right] = [1{,}75\,;2]\) : l'encadrement est conservé.
- \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 4 - u_n^2 - 3u_n}{u_n+3} = \dfrac{4 - u_n^2}{u_n+3} \ge 0\) car \(u_n \le 2\).
Exercice 2
Pour la suite précédente, en déduire la convergence et la limite.
Correction
La suite est croissante et majorée par \(2\) : elle converge vers \(\ell\). Le point fixe vérifie \(\ell = \dfrac{3\ell+4}{\ell+3}\), soit \(\ell^2 = 4\) : comme \(\ell \ge 1\), on a \(\ell = 2\).
Exercice 3
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et tout \(x \ge -1\), \((1+x)^n \ge 1 + nx\) (inégalité de Bernoulli).
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : \(1 \ge 1\). Hérédité. \((1+x)^{n+1} = (1+x)^n(1+x) \ge (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 \ge 1 + (n+1)x\). (Le produit par \(1+x \ge 0\) conserve l'inégalité.)
Exercice 4
Soient \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\) et \(v_n = u_n + \frac1n\). Montrer que \((u_n)\) croît, que \((v_n)\) décroît, et conclure.
Correction
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0\) : \((u_n)\) croît. \(v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac1n = \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)^2} < 0\) : \((v_n)\) décroît. De plus \(v_n - u_n = \dfrac1n \to 0\) : les suites sont adjacentes, donc elles convergent vers la même limite.
Exercice 5
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n\) — on admettra le résultat.
Correction
Cette limite vaut \(e\) : c'est l'une des définitions du nombre \(e\).
Exercice 6
Soit \(u_n = \dfrac{n!}{n^n}\). Montrer que \(0 < u_{n+1} \le \dfrac{u_n}{2}\) pour \(n \ge 1\), puis conclure.
Correction
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times\dfrac{n^n}{n!} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\). Or \(\left(1+\frac1n\right)^n \ge 2\) pour \(n \ge 1\), donc le quotient est \(\le \dfrac12\) : par comparaison, \(u_n \to 0\).
Exercice 7
Soit \((u_n)\) telle que \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + \dfrac{1}{u_n}\) avec \(u_0 = 2\). Déterminer le point fixe positif.
Correction
\(\ell = \dfrac{\ell}{2} + \dfrac1\ell\) donne \(\dfrac{\ell}{2} = \dfrac1\ell\), soit \(\ell^2 = 2\) et \(\ell = \sqrt2\).