L'essentiel en une page
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Associativité | \((x*y)*z = x*(y*z)\) |
| Commutativité | \(x*y = y*x\) |
| Neutre \(e\) | \(x*e = e*x = x\) |
| Symétrique \(x'\) | \(x*x' = x'*x = e\) |
Groupe : une loi interne associative, admettant un neutre, et telle que tout élément ait un symétrique. Commutatif (ou abélien) si la loi l'est.
Sous-groupe : \(H\neq\varnothing\), \(H\subset G\), et \(\forall x,y\in H\), \(x*y^{-1}\in H\) (critère unique).
| Structure | Conditions |
|---|---|
| Anneau | \((A;+)\) groupe abélien, \(\times\) associative et distributive |
| Anneau unitaire | il existe un élément unité \(1\) |
| Corps | anneau unitaire où tout élément non nul est inversible |
Morphisme : \(f(x*y) = f(x)\star f(y)\). Alors \(f(e) = e'\) et \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\). Bijectif ⟹ isomorphisme.
Noyau : \(\ker f = \{x\,;\,f(x) = e'\}\) ; \(f\) est injectif si et seulement si \(\ker f = \{e\}\).
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
Ce que je dois savoir faire
- Vérifier les quatre axiomes d'un groupe sur une loi donnée.
- Utiliser le critère du sous-groupe.
- Démontrer qu'une application est un morphisme et calculer son noyau.
- Trouver les inversibles de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
- Distinguer anneau, anneau unitaire et corps.
Les pièges à éviter
- Vérifier d'abord la stabilité de la loi sur l'ensemble.
- Un neutre doit convenir pour tous les éléments.
- Dans un groupe, tout élément a un symétrique : exclure les valeurs interdites.
- Un anneau sans diviseurs de zéro n'est pas forcément un corps.
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Neutre de \(x*y = x+y-5\) ? Symétrique de \(x\) ? \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est-il un corps ? Noyau de \(x\mapsto\ln x\) ?
Réponses
\(5\) ; \(10-x\) ; oui (\(7\) est premier) ; \(\{1\}\).