Série 2 — lois de composition, groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux et corps.
Exercice 1
Sur \(\mathbb{R}\) on pose \(x * y = x + y - 3\). Montrer que \((\mathbb{R}\,;*)\) est un groupe commutatif.
Correction
Commutativité : \(x*y = x+y-3 = y+x-3 = y*x\). Associativité : \((x*y)*z = (x+y-3)+z-3 = x+y+z-6\) et \(x*(y*z) = x+(y+z-3)-3 = x+y+z-6\). Neutre : \(x*e = x\) donne \(x+e-3 = x\), donc \(e = 3\). Symétrique : \(x*x' = 3\) donne \(x+x'-3 = 3\), donc \(x' = 6-x\). \((\mathbb{R}\,;*)\) est donc un groupe commutatif de neutre \(3\).
Exercice 2
Montrer que \(G = \{2^n\,;\,n\in\mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R}^*\,;\times)\).
Correction
\(G \subset \mathbb{R}^*\) et \(1 = 2^0 \in G\), donc \(G \neq \varnothing\). Pour \(2^n\) et \(2^m\) dans \(G\) : \(2^n\times(2^m)^{-1} = 2^{n-m} \in G\) car \(n-m\in\mathbb{Z}\). \(G\) est donc un sous-groupe de \((\mathbb{R}^*\,;\times)\).
Exercice 3
Sur \(E = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\) on pose \(x * y = x + y + xy\). Montrer que \((E\,;*)\) est un groupe commutatif.
Correction
Stabilité : si \(x*y = -1\) alors \(x+y+xy+1 = 0\), soit \((1+x)(1+y) = 0\) : impossible car \(x\neq-1\) et \(y\neq-1\). Donc \(x*y\in E\). Associativité : les deux calculs donnent \(x+y+z+xy+xz+yz+xyz\). Commutativité : l'expression est symétrique en \(x\) et \(y\). Neutre : \(x*e = x\) donne \(e(1+x) = 0\), donc \(e = 0\). Symétrique : \(x+x'+xx' = 0\) donne \(x'(1+x) = -x\), donc \(x' = \dfrac{-x}{1+x}\), qui est bien dans \(E\).
Exercice 4
Soit \(f : (\mathbb{R}\,;+)\to(\mathbb{R}^*_+\,;\times)\) définie par \(f(x) = e^x\). Montrer que \(f\) est un isomorphisme de groupes.
Correction
\(f(x+y) = e^{x+y} = e^x\times e^y = f(x)\times f(y)\) : \(f\) est un morphisme. \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), continue, avec \(\lim_{-\infty}f = 0\) et \(\lim_{+\infty}f = +\infty\) : c'est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}^*_+\). Donc \(f\) est un isomorphisme, et \(f(0) = 1\) confirme que le neutre est envoyé sur le neutre.
Exercice 5
Soit \(E = \left\{a + b\sqrt2\;;\;(a\,;b)\in\mathbb{Q}^2\right\}\). Montrer que \((E\,;+\,;\times)\) est un corps commutatif.
Correction
\(E\) est stable par addition et par produit :
\(0\) et \(1\) appartiennent à \(E\), et l'opposé de \(a+b\sqrt2\) est \(-a-b\sqrt2 \in E\). Inverse : si \(a+b\sqrt2 \neq 0\), alors \(a^2-2b^2 \neq 0\) (sinon \(\sqrt2 = \left\lvert\frac ab\right\rvert\) serait rationnel), et
\((E\,;+\,;\times)\) est donc un sous-corps de \(\mathbb{R}\).
Exercice 6
Montrer que tout sous-groupe \(H\) de \((\mathbb{Z}\,;+)\) est de la forme \(n\mathbb{Z}\).
Correction
Si \(H = \{0\}\), alors \(H = 0\mathbb{Z}\). Sinon \(H\) contient un entier non nul, donc un entier strictement positif (il contient aussi son opposé). Soit \(n\) le plus petit élément strictement positif de \(H\). \(n\mathbb{Z}\subset H\) car \(H\) est stable. Réciproquement, pour \(h\in H\) : \(h = nq + r\) avec \(0\le r<n\), et \(r = h - nq \in H\) ; la minimalité de \(n\) impose \(r = 0\). Donc \(H = n\mathbb{Z}\).
Exercice 7
Montrer que \(\left(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\,;+\,;\times\right)\) est un corps.
Correction
C'est un anneau commutatif unitaire. Il reste à inverser chaque classe non nulle : \(\bar1\times\bar1 = \bar1\) ; \(\bar2\times\bar3 = \bar6 = \bar1\) ; \(\bar4\times\bar4 = \overline{16} = \bar1\). Toute classe non nulle est inversible : c'est un corps (ce qui vaut pour \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) avec \(p\) premier).