Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Sur \(\mathbb{R}\) on pose \(x\top y = x + y + 2\).
- Montrer que \(\top\) est associative et commutative. (3 pts)
- Déterminer le neutre et le symétrique de \(x\). (3 pts)
Correction
- \((x\top y)\top z = x+y+z+4 = x\top(y\top z)\) ; l'expression est symétrique en \(x\) et \(y\).
- \(x\top e = x\) donne \(e = -2\) ; \(x\top x' = -2\) donne \(x' = -4-x\).
Ainsi \((\mathbb{R}\,;\top)\) est un groupe commutatif de neutre \(-2\).
Exercice 2 (5 pts)
Montrer que \(H = \{3k\,;\,k\in\mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z}\,;+)\) mais que \(\left(H\,;+\,;\times\right)\) n'est pas un anneau unitaire.
Correction
\(0\in H\) et \(3k - 3k' = 3(k-k')\in H\) : \(H\) est un sous-groupe. \(H\) est stable par produit (\(3k\times3k' = 3(3kk')\)), mais \(1\notin H\) : il n'y a pas d'élément unité, donc l'anneau n'est pas unitaire.
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f : (\mathbb{R}^*_+\,;\times)\to(\mathbb{R}\,;+)\) définie par \(f(x) = \ln x\). Montrer que \(f\) est un morphisme de groupes et déterminer son noyau.
Correction
\(f(xy) = \ln(xy) = \ln x + \ln y = f(x) + f(y)\) : c'est un morphisme. \(f(x) = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\) : le noyau est \(\{1\}\), donc \(f\) est injectif.
Exercice 4 (4 pts)
Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), déterminer les classes inversibles et conclure que ce n'est pas un corps.
Correction
\(\bar1\times\bar1 = \bar1\) et \(\bar5\times\bar5 = \overline{25} = \bar1\) : seules \(\bar1\) et \(\bar5\) sont inversibles. \(\bar2\times\bar3 = \bar0\) avec \(\bar2\neq\bar0\) et \(\bar3\neq\bar0\) : il y a des diviseurs de zéro, donc \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) n'est pas un corps.