Structures algébriques — Examen (2 h) — 2ème année Bac Sciences Mathématiques

Durée : 2 heures. Barème sur 20.

Sur \(G = ]-1 ; +\infty[\), on définit \(x\top y = x + y + xy\).

Montrer que \(\top\) est une loi interne sur \(G\) (remarquer que \(1 + x\top y = (1 + x)(1 + y)\)). (4 pts)
Montrer que \(\varphi(x) = 1 + x\) est un isomorphisme de \((G, \top)\) sur \((]0 ; +\infty[, \times)\). (5 pts)
En déduire que \((G, \top)\) est un groupe commutatif ; préciser le neutre et le symétrique de \(x\). (5 pts)
Montrer que \(H = \{x\in G : x = 2^n - 1,\ n\in\mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((G, \top)\). (6 pts)

Correction

\(1 + x + y + xy = (1 + x)(1 + y) > 0\) donc \(x\top y > -1\).
\(\varphi\) bijection de \(G\) sur \(]0 ; +\infty[\) et \(\varphi(x\top y) = (1 + x)(1 + y) = \varphi(x)\varphi(y)\).
Image réciproque d'un groupe commutatif par un isomorphisme. Neutre : \(\varphi^{-1}(1) = 0\). Symétrique : \(\varphi^{-1}\left(\frac{1}{1 + x}\right) = \frac{1}{1 + x} - 1 = -\frac{x}{1 + x}\).
\(\varphi(H) = \{2^n : n\in\mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((]0 ; +\infty[, \times)\) (\(2^n\times(2^m)^{-1} = 2^{n - m}\)), donc \(H = \varphi^{-1}(\varphi(H))\) est un sous-groupe de \((G, \top)\).