1. Définition
Un espace vectoriel réel est un ensemble \(E\) muni d'une loi interne \(+\) et d'une loi externe \(\cdot\) (de \(\mathbb{R}\times E\) dans \(E\)) tels que :
- \((E, +)\) est un groupe commutatif (élément neutre \(0_E\)) ;
- pour tous \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) et \(u, v\in E\) : \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\) ; \((\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u\) ; \(\alpha(\beta u) = (\alpha\beta)u\) ; \(1\cdot u = u\).
Exemples : \((\mathbb{R}^2, +, \cdot)\), \((\mathbb{R}^3, +, \cdot)\), l'ensemble \(\mathcal{V}_3\) des vecteurs de l'espace, l'ensemble \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre \(2\), l'ensemble des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Règles de calcul
\(\alpha u = 0_E \Leftrightarrow \alpha = 0\) ou \(u = 0_E\) ; \((-1)u = -u\).
2. Sous-espaces vectoriels
Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel si : \(F\neq\emptyset\) (en général on vérifie \(0_E\in F\)) et, pour tous \(u, v\in F\) et \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\), \(\alpha u + \beta v\in F\).
Exemple : \(F = \{(x, y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2x - y = 0\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) (c'est la droite vectorielle engendrée par \((1, 2)\)). En revanche \(\{(x, y)\mid x + y = 1\}\) n'en est pas un (\(0\) n'y est pas).
3. Combinaisons linéaires, familles génératrices
Un vecteur \(u\) est combinaison linéaire de \(u_1, \dots, u_n\) s'il existe des réels \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) tels que \(u = \alpha_1u_1 + \dots + \alpha_nu_n\).
La famille \((u_1, \dots, u_n)\) est génératrice de \(E\) si tout vecteur de \(E\) en est une combinaison linéaire.
4. Familles libres, bases, dimension
La famille \((u_1, \dots, u_n)\) est libre si : \(\alpha_1u_1 + \dots + \alpha_nu_n = 0_E \Rightarrow \alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0\). Sinon elle est liée.
Une base de \(E\) est une famille libre et génératrice. Tout vecteur s'écrit alors de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (ce sont ses coordonnées).
Si \(E\) admet une base à \(n\) éléments, toutes ses bases ont \(n\) éléments : \(n\) est la dimension de \(E\).
- \(\dim\mathbb{R}^2 = 2\), base canonique \(((1, 0), (0, 1))\) ; \(\dim\mathbb{R}^3 = 3\) ; \(\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = 4\).
- Dans un espace de dimension \(n\), une famille libre de \(n\) vecteurs est une base.
Critère dans \(\mathbb{R}^2\)
Deux vecteurs \(u(a, b)\) et \(v(c, d)\) forment une base de \(\mathbb{R}^2\) si et seulement si \(\det(u, v) = ad - bc\neq0\).