Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(F = \{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 2y = 0 \text{ et } y + z = 0\}\).
- Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).
- Déterminer une base de \(F\) et sa dimension.
Correction
- \((0, 0, 0)\in F\) ; si \(u, u'\in F\), les deux équations linéaires restent vérifiées par \(\alpha u + \beta u'\) : \(F\) est un sous-espace.
- \(x = 2y\) et \(z = -y\) : \(F = \{y(2, 1, -1)\}\). Base \(((2, 1, -1))\), \(\dim F = 1\).
Exercice 2 (12 pts)
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(e_1 = (1, 0, 1)\), \(e_2 = (1, 1, 0)\), \(e_3 = (0, 1, 1)\).
- Montrer que \((e_1, e_2, e_3)\) est une famille libre.
- En déduire que c'est une base de \(\mathbb{R}^3\).
- Déterminer les coordonnées de \(u = (2, 3, 1)\) dans cette base.
Correction
- \(\alpha e_1 + \beta e_2 + \gamma e_3 = 0\) donne \(\alpha + \beta = 0\), \(\beta + \gamma = 0\), \(\alpha + \gamma = 0\). En additionnant : \(\alpha + \beta + \gamma = 0\), d'où \(\gamma = 0\), \(\alpha = 0\), \(\beta = 0\). La famille est libre.
- C'est une famille libre de \(3\) vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\), de dimension \(3\) : c'est une base.
- \(\alpha + \beta = 2\), \(\beta + \gamma = 3\), \(\alpha + \gamma = 1\). Somme : \(\alpha + \beta + \gamma = 3\), donc \(\gamma = 1\), \(\alpha = 0\), \(\beta = 2\). Coordonnées \((0, 2, 1)\).