Exercice 1
Montrer que \(F = \{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) et en donner une base.
Correction
\((0, 0, 0)\in F\). Si \(u = (x, y, z)\) et \(u' = (x', y', z')\) sont dans \(F\), alors \(\alpha u + \beta u'\) vérifie \((\alpha x + \beta x') + (\alpha y + \beta y') - (\alpha z + \beta z') = \alpha\cdot0 + \beta\cdot0 = 0\) : \(F\) est un sous-espace. \((x, y, z)\in F \Leftrightarrow z = x + y\), donc \((x, y, x + y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)\). La famille \(((1, 0, 1), (0, 1, 1))\) est génératrice et libre : c'est une base, \(\dim F = 2\).
Exercice 2
La famille \(u_1 = (1, 2)\), \(u_2 = (3, -1)\) est-elle une base de \(\mathbb{R}^2\) ? Si oui, donner les coordonnées de \(w = (7, 0)\) dans cette base.
Correction
\(\det = 1\times(-1) - 3\times2 = -7\neq0\) : c'est une base. \(w = \alpha u_1 + \beta u_2\) : \(\alpha + 3\beta = 7\) et \(2\alpha - \beta = 0\), donc \(\beta = 2\alpha\), \(7\alpha = 7\), \(\alpha = 1\), \(\beta = 2\).
Exercice 3
Étudier la liberté de la famille \((u_1, u_2, u_3)\) avec \(u_1 = (1, 1, 0)\), \(u_2 = (0, 1, 1)\), \(u_3 = (1, 2, 1)\).
Correction
\(u_3 = u_1 + u_2\) : la famille est liée.
Exercice 4
On considère \(E = \left\{M(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b\in\mathbb{R}\right\}\). Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et que \((I, J)\) en est une base, avec \(I = M(1, 0)\) et \(J = M(0, 1)\).
Correction
\(M(0, 0)\) est la matrice nulle, et \(\alpha M(a, b) + \beta M(a', b') = M(\alpha a + \beta a', \alpha b + \beta b')\in E\). Toute matrice de \(E\) s'écrit \(M(a, b) = aI + bJ\) : \((I, J)\) est génératrice ; \(aI + bJ = 0\) donne \(a = b = 0\) : libre. C'est une base, \(\dim E = 2\).
Exercice 5
Soit \(F\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) telles que \(f'' + f = 0\) (fonctions deux fois dérivables). Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions.
Correction
La fonction nulle vérifie l'équation. Si \(f\) et \(g\) sont solutions, \((\alpha f + \beta g)'' + (\alpha f + \beta g) = \alpha(f'' + f) + \beta(g'' + g) = 0\) : \(F\) est un sous-espace. (On sait que \(F\) est engendré par \(\cos\) et \(\sin\).)