1. Lois de composition interne
Une loi de composition interne \(*\) sur \(E\) associe à tout couple \((a ; b)\) de \(E^2\) un élément \(a * b\) de \(E\).
- Associative : \((a * b) * c = a * (b * c)\).
- Commutative : \(a * b = b * a\).
- Élément neutre \(e\) : \(a * e = e * a = a\).
- Symétrique de \(a\) : \(a'\) tel que \(a * a' = a' * a = e\).
- \(*\) distributive sur \(\top\) : \(a * (b\top c) = (a * b)\top(a * c)\) (et à droite).
2. Groupes
\((G, *)\) est un groupe si \(*\) est associative, admet un neutre et si tout élément admet un symétrique. Il est commutatif (abélien) si \(*\) est commutative.
Exemples : \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{R}^*, \times)\), \((\mathbb{C}, +)\), \((\mathbb{U}, \times)\) où \(\mathbb{U} = \{z : |z| = 1\}\).
Sous-groupe
\(H\subset G\) non vide est un sous-groupe si \(\forall a, b\in H\), \(a * b'\in H\).
3. Morphismes
\(f : (E, *)\to(F, \top)\) est un morphisme si \(f(a * b) = f(a)\top f(b)\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme.
L'image d'un groupe par un morphisme est un groupe. Exemple : \(\ln : (]0 ; +\infty[, \times)\to(\mathbb{R}, +)\) est un isomorphisme.
4. Anneaux et corps
\((A, *, \top)\) est un anneau si \((A, *)\) est un groupe commutatif, \(\top\) est associative et distributive sur \(*\). Il est unitaire si \(\top\) admet un neutre, commutatif si \(\top\) l'est.
Un corps est un anneau unitaire commutatif où tout élément non nul admet un symétrique pour \(\top\). Exemples : \((\mathbb{Q}, +, \times)\), \((\mathbb{R}, +, \times)\), \((\mathbb{C}, +, \times)\).
5. Espaces vectoriels réels
\((E, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) si \((E, +)\) est un groupe commutatif et la loi externe vérifie : \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\), \((\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u\), \(\alpha(\beta u) = (\alpha\beta)u\), \(1\cdot u = u\). Exemple : \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) est un espace vectoriel réel de base \((1 ; i)\).