1. Dénombrement
- Nombre de listes de \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments (tirages successifs avec remise) : \(n^p\).
- Arrangements (successifs sans remise) : \(A_n^p = \frac{n!}{(n - p)!}\).
- Permutations : \(n!\).
- Combinaisons (simultanés) : \(C_n^p = \frac{n!}{p!(n - p)!}\).
\[C_n^p = C_n^{n-p} \qquad C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1} \qquad (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}\]
2. Probabilités
En situation d'équiprobabilité : \(p(A) = \frac{\text{card}\,A}{\text{card}\,\Omega}\).
- \(p(\overline{A}) = 1 - p(A)\) ; \(p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B)\).
3. Probabilité conditionnelle
\[p_B(A) = \frac{p(A\cap B)}{p(B)} \qquad p(A\cap B) = p(B)\,p_B(A)\]
Probabilités totales : si \(B_1, \dots, B_n\) forment une partition de \(\Omega\), \(p(A) = \sum p(B_i)p_{B_i}(A)\). Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(p(A\cap B) = p(A)p(B)\).
4. Variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) associe un réel à chaque issue. Loi de probabilité : \(p(X = x_i)\).
\[E(X) = \sum x_ip(X = x_i) \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}\]
5. Loi binomiale
On répète \(n\) fois, de façon indépendante, une épreuve de succès de probabilité \(p\). Le nombre \(X\) de succès suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) :
\[p(X = k) = C_n^kp^k(1 - p)^{n-k} \qquad E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)\]