Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Une urne \(U_1\) contient \(3\) boules blanches et \(2\) noires, une urne \(U_2\) contient \(1\) blanche et \(4\) noires. On lance une pièce équilibrée : pile, on tire dans \(U_1\) ; face, dans \(U_2\).
- Calculer la probabilité de tirer une boule blanche. (4 pts)
- Sachant que la boule est blanche, quelle est la probabilité qu'elle vienne de \(U_1\) ? (3 pts)
- On répète l'expérience \(5\) fois (avec remise). Probabilité d'obtenir au moins une blanche ? (3 pts)
Correction
- \(p(B) = \frac12\times\frac35 + \frac12\times\frac15 = \frac25\).
- \(p_B(U_1) = \frac{\frac{3}{10}}{\frac25} = \frac34\).
- \(1 - \left(\frac35\right)^5 = 1 - \frac{243}{3125} = \frac{2882}{3125}\).
Exercice 2 (10 pts)
Une boîte contient \(10\) jetons : \(4\) portent le nombre \(1\), \(6\) portent le nombre \(2\). On tire simultanément \(2\) jetons ; \(X\) est la somme des deux nombres.
- Déterminer les valeurs de \(X\) et sa loi de probabilité. (5 pts)
- Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\). (5 pts)
Correction
- \(C_{10}^2 = 45\). \(p(X = 2) = \frac{C_4^2}{45} = \frac{6}{45}\), \(p(X = 3) = \frac{4\times6}{45} = \frac{24}{45}\), \(p(X = 4) = \frac{C_6^2}{45} = \frac{15}{45}\).
- \(E(X) = \frac{12 + 72 + 60}{45} = \frac{144}{45} = 3{,}2\). \(E(X^2) = \frac{24 + 216 + 240}{45} = \frac{480}{45}\), \(V(X) = \frac{480}{45} - 10{,}24 = \frac{32}{3} - \frac{256}{25} = \frac{800 - 768}{75} = \frac{32}{75}\).