Exercice 1
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) blanches. On tire simultanément \(3\) boules. Calculer la probabilité d'obtenir : (a) \(3\) rouges ; (b) au moins une blanche ; (c) exactement \(2\) rouges.
Correction
\(\text{card}\,\Omega = C_8^3 = 56\). (a) \(\frac{C_5^3}{56} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}\). (b) \(1 - \frac{5}{28} = \frac{23}{28}\). (c) \(\frac{C_5^2C_3^1}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}\).
Exercice 2
On lance un dé équilibré \(4\) fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le \(6\) ?
Correction
\(X\sim\mathcal{B}(4, \frac16)\) : \(p(X = 2) = C_4^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^2 = \frac{6\times25}{1296} = \frac{25}{216}\).
Exercice 3
Dans une usine, la machine A produit \(60\) % des pièces et la machine B \(40\) %. \(2\) % des pièces de A et \(5\) % de celles de B sont défectueuses. Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse, puis qu'elle vienne de B sachant qu'elle est défectueuse.
Correction
\(p(D) = 0{,}6\times0{,}02 + 0{,}4\times0{,}05 = 0{,}032\). \(p_D(B) = \frac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625\).
Exercice 4
Un jeu : on tire une boule d'une urne contenant \(2\) boules numérotées \(1\), \(3\) numérotées \(2\) et \(5\) numérotées \(0\). \(X\) est le numéro obtenu. Donner la loi de \(X\), \(E(X)\) et \(V(X)\).
Correction
\(p(X = 0) = 0{,}5\), \(p(X = 1) = 0{,}2\), \(p(X = 2) = 0{,}3\). \(E(X) = 0{,}2 + 0{,}6 = 0{,}8\). \(E(X^2) = 0{,}2 + 1{,}2 = 1{,}4\), \(V(X) = 1{,}4 - 0{,}64 = 0{,}76\).