Série 2 — produit vectoriel, aires, volumes et distances. Le repère est orthonormé direct.
Exercice 1
Calculer \(\vec u \wedge \vec v\) pour \(\vec u(1\,;2\,;3)\) et \(\vec v(2\,;-1\,;1)\).
Correction
\(\vec u\wedge\vec v = \left(2\times1 - 3\times(-1)\;;\;3\times2 - 1\times1\;;\;1\times(-1) - 2\times2\right) = (5\,;5\,;-5)\).
Exercice 2
En déduire l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\), puis celle du triangle correspondant.
Correction
\(\lVert\vec u\wedge\vec v\rVert = \sqrt{25+25+25} = 5\sqrt3\) : c'est l'aire du parallélogramme. L'aire du triangle vaut la moitié, soit \(\dfrac{5\sqrt3}{2}\).
Exercice 3
Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\) avec \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;1\,;0)\) et \(C(0\,;0\,;1)\).
Correction
\(\vec{AB}(-1\,;1\,;0)\) et \(\vec{AC}(-1\,;0\,;1)\) ; \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1\,;1\,;1)\) est normal. Équation : \((x-1) + y + z = 0\), soit \(x + y + z - 1 = 0\).
Exercice 4
Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\) avec \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\), \(C(0\,;0\,;3)\).
Correction
\(\mathcal{V} = \dfrac16\left\lvert\left(\vec{OA}\wedge\vec{OB}\right)\cdot\vec{OC}\right\rvert\). \(\vec{OA}\wedge\vec{OB} = (0\,;0\,;2)\), et le produit scalaire avec \(\vec{OC}\) vaut \(6\) : \(\mathcal{V} = 1\).
Exercice 5
Calculer la distance du point \(A(1\,;1\,;1)\) à la droite passant par \(B(0\,;0\,;0)\) et dirigée par \(\vec u(1\,;0\,;0)\).
Correction
\(d = \dfrac{\lVert\vec{BA}\wedge\vec u\rVert}{\lVert\vec u\rVert}\) ; \(\vec{BA}(1\,;1\,;1)\) et \(\vec{BA}\wedge\vec u = (0\,;1\,;-1)\). Donc \(d = \sqrt2\).
Exercice 6
Montrer que les points \(A(1\,;0\,;1)\), \(B(2\,;1\,;0)\), \(C(0\,;-1\,;2)\) sont alignés.
Correction
\(\vec{AB}(1\,;1\,;-1)\) et \(\vec{AC}(-1\,;-1\,;1) = -\vec{AB}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés. (On peut aussi vérifier que \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = \vec0\).)
Exercice 7
Déterminer l'intersection du plan \(x + y + z = 3\) et de la droite \(x = t\), \(y = t\), \(z = t\).
Correction
\(3t = 3\) donne \(t = 1\) : le point d'intersection est \((1\,;1\,;1)\).