Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Repère orthonormé direct.
Exercice (20 pts)
On considère la sphère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z - 3 = 0\) et les points \(A(0 ; 1 ; 1)\), \(B(1 ; 0 ; 2)\), \(C(2 ; 1 ; 0)\).
- Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\). (3 pts)
- Calculer \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\) et en déduire que \(x + 3y + 2z - 5 = 0\) est une équation du plan \((ABC)\). (5 pts)
- Calculer \(d(\Omega, (ABC))\) et montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) suivant un cercle dont on précisera le rayon. (5 pts)
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\). (3 pts)
- En déduire le centre du cercle d'intersection. (4 pts)
Correction
- \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9\) : \(\Omega(2 ; -1 ; 1)\), \(R = 3\).
- \(\vec{AB}(1 ; -1 ; 1)\), \(\vec{AC}(2 ; 0 ; -1)\) : \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1 ; 3 ; 2)\), vecteur normal au plan. Donc \((ABC) : x + 3y + 2z + d = 0\), et \(A\) donne \(d = -5\).
- \(d = \frac{|2 - 3 + 2 - 5|}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}} < 3\) : cercle de rayon \(r = \sqrt{9 - \frac{16}{14}} = \sqrt{\frac{55}{7}}\).
- \(x = 2 + t\), \(y = -1 + 3t\), \(z = 1 + 2t\).
- \((2 + t) + 3(-1 + 3t) + 2(1 + 2t) - 5 = 0\Leftrightarrow14t - 4 = 0\), \(t = \frac27\) : centre \(\left(\frac{16}{7} ; -\frac17 ; \frac{11}{7}\right)\).