Exercice 1
Soient \(A(1 ; 0 ; 2)\), \(B(2 ; 1 ; 0)\), \(C(0 ; 1 ; 1)\). Calculer \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\), en déduire une équation du plan \((ABC)\) et l'aire du triangle \(ABC\).
Correction
\(\vec{AB}(1 ; 1 ; -2)\), \(\vec{AC}(-1 ; 1 ; -1)\). \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1\cdot(-1) - (-2)\cdot1 ; (-2)(-1) - 1\cdot(-1) ; 1\cdot1 - 1\cdot(-1)) = (1 ; 3 ; 2)\). Plan : \(x + 3y + 2z + d = 0\), \(A\) donne \(d = -5\) : \(x + 3y + 2z - 5 = 0\). Aire \(= \frac12\sqrt{1 + 9 + 4} = \frac{\sqrt{14}}{2}\).
Exercice 2
Calculer la distance du point \(M(1 ; 2 ; 3)\) au plan \((P) : 2x - y + 2z + 3 = 0\).
Correction
\(d = \frac{|2 - 2 + 6 + 3|}{3} = 3\).
Exercice 3
Soit \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4 = 0\). Déterminer son centre, son rayon, et la position du plan \((P) : z = 2\).
Correction
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 9\) : \(\Omega(1 ; -2 ; 0)\), \(R = 3\). \(d = 2 < 3\) : intersection = cercle de centre \((1 ; -2 ; 2)\) et de rayon \(\sqrt5\).
Exercice 4
Calculer la distance du point \(M(1 ; 1 ; 1)\) à la droite passant par \(O\) et dirigée par \(\vec{u}(1 ; 0 ; 0)\).
Correction
\(\vec{OM}\wedge\vec{u} = (0 ; 1 ; -1)\), norme \(\sqrt2\), \(\|\vec u\| = 1\) : distance \(\sqrt2\).