Durée : 1 heure. Barème sur 20. Le repère est orthonormé direct.
Exercice 1 (5 pts)
\(\vec u(2\,;1\,;-1)\) et \(\vec v(1\,;0\,;3)\).
- Calculer \(\vec u\cdot\vec v\). (2 pts)
- Calculer \(\vec u\wedge\vec v\). (3 pts)
Correction
- \(2 + 0 - 3 = -1\).
- \(\vec u\wedge\vec v = (1\times3 - (-1)\times0\;;\;(-1)\times1 - 2\times3\;;\;2\times0 - 1\times1) = (3\,;-7\,;-1)\).
Exercice 2 (5 pts)
\(A(1\,;0\,;2)\), \(B(2\,;1\,;0)\) et \(C(0\,;1\,;1)\). Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Correction
\(\vec{AB}(1\,;1\,;-2)\) et \(\vec{AC}(-1\,;1\,;-1)\) ; \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1\,;3\,;2)\). Équation : \((x-1) + 3y + 2(z-2) = 0\), soit \(x + 3y + 2z - 5 = 0\).
Exercice 3 (5 pts)
Calculer l'aire du triangle \(ABC\) de l'exercice précédent.
Correction
\(\mathcal{A} = \dfrac12\lVert\vec{AB}\wedge\vec{AC}\rVert = \dfrac12\sqrt{1+9+4} = \dfrac{\sqrt{14}}{2}\).
Exercice 4 (5 pts)
Calculer la distance du point \(D(0\,;0\,;0)\) au plan \(x + 3y + 2z - 5 = 0\).
Correction
\(d = \dfrac{\lvert -5\rvert}{\sqrt{1+9+4}} = \dfrac{5}{\sqrt{14}}\).