L'essentiel en une page
| Outil | Formule |
|---|---|
| Produit scalaire | \(xx' + yy' + zz'\) |
| Produit vectoriel | \((yz'-zy'\;;\;zx'-xz'\;;\;xy'-yx')\) |
| Norme | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
Produit vectoriel : \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) ; il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
| Application | Formule |
|---|---|
| Aire du parallélogramme | \(\lVert\vec u\wedge\vec v\rVert\) |
| Aire du triangle | \(\frac12\lVert\vec{AB}\wedge\vec{AC}\rVert\) |
| Volume du tétraèdre | \(\frac16\left\lvert(\vec{AB}\wedge\vec{AC})\cdot\vec{AD}\right\rvert\) |
| Distance point-droite | \(\frac{\lVert\vec{BA}\wedge\vec u\rVert}{\lVert\vec u\rVert}\) |
| Distance point-plan | \(\frac{\lvert ax_0+by_0+cz_0+d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) |
Plan par trois points : \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\) est un vecteur normal ; on écrit ensuite l'équation à partir de \(A\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer un produit vectoriel sans erreur de signe.
- Déterminer l'équation d'un plan passant par trois points.
- Calculer aires et volumes.
- Calculer les distances point-plan et point-droite.
- Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.
Les pièges à éviter
- Le produit vectoriel est un vecteur, le produit scalaire un nombre.
- \(\vec u\wedge\vec v = -\vec v\wedge\vec u\) : l'ordre compte.
- Attention au signe du deuxième terme dans le calcul.
- Ne pas oublier le facteur \(\frac12\) pour un triangle, \(\frac16\) pour un tétraèdre.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec i\wedge\vec j\) ? \(\vec u\wedge\vec u\) ? Aire du triangle si \(\lVert\vec{AB}\wedge\vec{AC}\rVert = 10\) ? Normale de \(2x - y + z = 0\) ?
Réponses
\(\vec k\) ; \(\vec0\) ; \(5\) ; \((2\,;-1\,;1)\).