Série 2 — probabilités conditionnelles, indépendance et variables aléatoires.
Exercice 1
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) boules noires. On tire deux boules simultanément.
- Calculer la probabilité d'obtenir deux rouges.
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins une noire.
Correction
- \(\dfrac{\binom52}{\binom82} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}\).
- \(1 - \dfrac{5}{14} = \dfrac{9}{14}\).
Exercice 2
\(A\) et \(B\) sont deux événements avec \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A\cap B) = 0{,}2\).
- Calculer \(P(A\cup B)\).
- Les événements sont-ils indépendants ?
Correction
- \(P(A\cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7\).
- \(P(A)P(B) = 0{,}2 = P(A\cap B)\) : ils sont indépendants.
Exercice 3
Avec les mêmes données, calculer \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\).
Correction
\(P(A\mid B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4\) ; \(P(B\mid A) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5\).
Exercice 4
Une maladie touche \(2\,\%\) d'une population. Un test est positif dans \(95\,\%\) des cas chez un malade et dans \(3\,\%\) des cas chez un non-malade. Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
Correction
\(P(T) = 0{,}02\times0{,}95 + 0{,}98\times0{,}03 = 0{,}019 + 0{,}0294 = 0{,}0484\).
Exercice 5
Avec les données précédentes, calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.
Correction
\(P(M\mid T) = \dfrac{0{,}019}{0{,}0484} \approx 0{,}393\) : moins de \(40\,\%\), malgré un test apparemment fiable.
Exercice 6
On lance deux dés équilibrés. Soit \(X\) la somme obtenue.
- Donner les valeurs possibles de \(X\).
- Calculer \(P(X = 7)\) et \(P(X \ge 10)\).
Correction
- \(X\in\{2\,;3\,;\ldots\,;12\}\).
- \(P(X=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16\) ; \(P(X\ge10) = \dfrac{3+2+1}{36} = \dfrac16\).
Exercice 7
Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès \(p = 0{,}3\), répétée \(5\) fois de façon indépendante. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) succès.
Correction
\(\binom52\,(0{,}3)^2(0{,}7)^3 = 10\times0{,}09\times0{,}343 = 0{,}3087\).