Probabilités — Examen (1 h 30) — 2ème année Bac Sciences Physiques & SVT

Durée : 1 h 30. Barème sur 20.

Une urne contient \(3\) boules rouges, \(2\) boules vertes et \(1\) boule blanche. On tire simultanément \(2\) boules.

Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont rouges », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes ». (6 pts)
Soit \(X\) le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de \(X\). (6 pts)
Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\). (4 pts)
On répète l'expérience \(4\) fois avec remise. Quelle est la probabilité que l'événement \(A\) se réalise exactement une fois ? (4 pts)

Correction

\(C_6^2 = 15\). \(p(A) = \frac{C_3^2}{15} = \frac{3}{15} = \frac15\). Même couleur : \(C_3^2 + C_2^2 = 4\), donc \(p(B) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}\).
\(p(X = 0) = \frac{C_3^2}{15} = \frac{3}{15}\), \(p(X = 1) = \frac{3\times3}{15} = \frac{9}{15}\), \(p(X = 2) = \frac{3}{15}\).
\(E(X) = \frac{9 + 6}{15} = 1\). \(E(X^2) = \frac{9 + 12}{15} = \frac75\), \(V(X) = \frac75 - 1 = \frac25\).
Loi binomiale \(\mathcal{B}(4, \frac15)\) : \(C_4^1\times\frac15\times\left(\frac45\right)^3 = 4\times\frac{64}{625} = \frac{256}{625}\).