Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches et \(6\) boules noires ; on tire \(3\) boules simultanément.
- Calculer la probabilité d'obtenir trois noires. (3 pts)
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins une blanche. (3 pts)
Correction
- \(\dfrac{\binom63}{\binom{10}{3}} = \dfrac{20}{120} = \dfrac16\).
- \(1 - \dfrac16 = \dfrac56\).
Exercice 2 (5 pts)
\(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}3\) et \(P(A\cap B) = 0{,}18\).
- Calculer \(P(A\cup B)\). (2 pts)
- Les événements sont-ils indépendants ? (3 pts)
Correction
- \(0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}18 = 0{,}72\).
- \(P(A)P(B) = 0{,}18 = P(A\cap B)\) : oui, indépendants.
Exercice 3 (5 pts)
Une usine a deux machines : \(A\) produit \(60\,\%\) des pièces avec \(2\,\%\) de défauts, \(B\) produit \(40\,\%\) avec \(5\,\%\) de défauts.
- Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. (3 pts)
- Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de \(A\) ? (2 pts)
Correction
- \(0{,}6\times0{,}02 + 0{,}4\times0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032\).
- \(\dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375\).
Exercice 4 (4 pts)
On répète \(4\) fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \(0{,}5\). Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(3\) succès.
Correction
\(\binom43\,(0{,}5)^3(0{,}5)^1 = 4\times0{,}0625 = 0{,}25\).