Série 2 — dénombrement, conditionnement, variables aléatoires et loi binomiale.
Exercice 1
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(5\) boules vertes. On tire simultanément \(2\) boules. Calculer la probabilité d'obtenir deux rouges, puis exactement une rouge.
Correction
Il y a \(\binom82 = 28\) tirages possibles. Deux rouges : \(\dfrac{\binom32}{28} = \dfrac{3}{28}\). Exactement une rouge : \(\dfrac{\binom31\times\binom51}{28} = \dfrac{15}{28}\).
Exercice 2
Avec la même urne, calculer la probabilité d'obtenir au moins une rouge.
Correction
L'événement contraire est « aucune rouge » : \(\dfrac{\binom52}{28} = \dfrac{10}{28}\). Donc \(P = 1-\dfrac{10}{28} = \dfrac{18}{28} = \dfrac{9}{14}\).
Exercice 3
Deux fournisseurs livrent une entreprise : \(A\) fournit \(60\,\%\) des pièces avec \(2\,\%\) de défauts, \(B\) fournit \(40\,\%\) avec \(5\,\%\) de défauts. Une pièce prise au hasard est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de \(A\) ?
Correction
\(P(D) = 0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05 = 0{,}012+0{,}020 = 0{,}032\). \(P(A\mid D) = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375\).
Exercice 4
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres \(n = 4\) et \(p = 0{,}25\). Calculer \(P(X = 1)\) et \(E(X)\).
Correction
\(P(X=1) = \binom41\times0{,}25\times(0{,}75)^3 = 4\times0{,}25\times0{,}421\,875 \approx 0{,}422\). \(E(X) = np = 4\times0{,}25 = 1\).
Exercice 5
Un jeu coûte \(10\) dirhams. On gagne \(50\) dirhams avec une probabilité de \(0{,}1\), et rien sinon. Soit \(X\) le gain net. Déterminer la loi de \(X\) et \(E(X)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Correction
\(X\) prend la valeur \(40\) avec la probabilité \(0{,}1\) et \(-10\) avec la probabilité \(0{,}9\). \(E(X) = 40\times0{,}1+(-10)\times0{,}9 = 4-9 = -5\). L'espérance est négative : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne \(5\) dirhams par partie.
Exercice 6
\(A\) et \(B\) vérifient \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}3\) et \(P(A\cap B) = 0{,}18\). Les événements sont-ils indépendants ? Calculer \(P(A\cup B)\).
Correction
\(P(A)\times P(B) = 0{,}6\times0{,}3 = 0{,}18 = P(A\cap B)\) : ils sont indépendants. \(P(A\cup B) = 0{,}6+0{,}3-0{,}18 = 0{,}72\).
Exercice 7
On lance deux dés équilibrés et on note \(X\) la somme obtenue. Calculer \(P(X = 7)\) et \(P(X\ge10)\).
Correction
Il y a \(36\) issues équiprobables. \(X = 7\) : \(6\) issues, donc \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16\). \(X\ge10\) : \(3+2+1 = 6\) issues, donc \(P = \dfrac16\).