Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice (20 pts)
Une usine a deux chaînes : la chaîne A fabrique \(70\) % des pièces, la chaîne B \(30\) %. \(3\) % des pièces de A et \(8\) % des pièces de B sont défectueuses.
- Construire l'arbre pondéré. (3 pts)
- Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. (4 pts)
- Une pièce est défectueuse. Probabilité qu'elle vienne de B ? (4 pts)
- Une pièce bonne rapporte \(20\) DH, une pièce défectueuse coûte \(50\) DH. Soit \(X\) le gain par pièce : donner sa loi et \(E(X)\). (5 pts)
- On prélève \(4\) pièces (tirages indépendants). Probabilité qu'au moins une soit défectueuse ? (4 pts)
Correction
- Branches : \(A\) (\(0{,}7\)) puis \(D\) (\(0{,}03\)) ; \(B\) (\(0{,}3\)) puis \(D\) (\(0{,}08\)).
- \(p(D) = 0{,}021 + 0{,}024 = 0{,}045\).
- \(p_D(B) = \frac{0{,}024}{0{,}045} = \frac{8}{15}\approx0{,}533\).
- \(p(X = 20) = 0{,}955\), \(p(X = -50) = 0{,}045\). \(E(X) = 19{,}1 - 2{,}25 = 16{,}85\) DH.
- \(1 - 0{,}955^4\approx1 - 0{,}8318 = 0{,}1682\).