Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches et \(6\) boules noires. On tire simultanément \(2\) boules.
- Probabilité d'obtenir deux blanches. (3 pts)
- Probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur. (3 pts)
Correction
Il y a \(\binom{10}2 = 45\) tirages possibles.
- \(\dfrac{\binom42}{45} = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}\).
- \(\dfrac{4\times6}{45} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}\).
Exercice 2 (5 pts)
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}2\). Calculer \(P(X = 0)\) et \(E(X)\).
Correction
\(P(X=0) = (0{,}8)^5 = 0{,}327\,68\). \(E(X) = 5\times0{,}2 = 1\).
Exercice 3 (5 pts)
Dans une entreprise, \(70\,\%\) des employés suivent une formation ; parmi eux, \(80\,\%\) sont promus, contre \(30\,\%\) des autres. Un employé est promu : quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation ?
Correction
\(P(P) = 0{,}7\times0{,}8+0{,}3\times0{,}3 = 0{,}56+0{,}09 = 0{,}65\). \(P(F\mid P) = \dfrac{0{,}56}{0{,}65} = \dfrac{56}{65}\approx0{,}86\).
Exercice 4 (4 pts)
Une entreprise réalise un bénéfice de \(100\) avec une probabilité de \(0{,}4\), de \(50\) avec une probabilité de \(0{,}5\), et une perte de \(200\) avec une probabilité de \(0{,}1\). Calculer le bénéfice moyen attendu.
Correction
\(E(X) = 100\times0{,}4+50\times0{,}5+(-200)\times0{,}1 = 40+25-20 = 45\). Le bénéfice moyen attendu est de \(45\) unités monétaires.