Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(5\) boules vertes. On tire simultanément \(2\) boules.
- Probabilité d'obtenir deux rouges. (3 pts)
- Probabilité d'obtenir exactement une rouge. (3 pts)
Correction
\(\binom82 = 28\) tirages possibles.
- \(\dfrac{\binom32}{28} = \dfrac{3}{28}\).
- \(\dfrac{\binom31\times\binom51}{28} = \dfrac{15}{28}\).
Exercice 2 (5 pts)
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}2\). Calculer \(P(X=1)\) et \(E(X)\).
Correction
\(P(X=1) = \binom51\times0{,}2\times(0{,}8)^4 = 5\times0{,}2\times0{,}4096 = 0{,}4096\). \(E(X) = 5\times0{,}2 = 1\).
Exercice 3 (5 pts)
Dans une population, \(4\,\%\) des individus sont porteurs d'un virus. Un test est positif chez \(90\,\%\) des porteurs et chez \(5\,\%\) des non-porteurs. Calculer la probabilité qu'un individu au test positif soit réellement porteur.
Correction
\(P(T) = 0{,}04\times0{,}9 + 0{,}96\times0{,}05 = 0{,}036 + 0{,}048 = 0{,}084\). \(P(V\mid T) = \dfrac{0{,}036}{0{,}084} = \dfrac{36}{84} = \dfrac37 \approx 0{,}43\).
Exercice 4 (4 pts)
On lance une pièce équilibrée \(3\) fois. Soit \(X\) le nombre de « pile ». Déterminer la loi de \(X\) et \(E(X)\).
Correction
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=\frac12\).
| \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\frac18\) | \(\frac38\) | \(\frac38\) | \(\frac18\) |
\(E(X) = 3\times\dfrac12 = \dfrac32\).