Série 2 — dénombrement, conditionnement, indépendance, variables aléatoires et loi binomiale.
Exercice 1
Une urne contient \(4\) boules blanches et \(6\) boules noires. On tire simultanément \(3\) boules. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) blanches.
Correction
Le nombre de tirages possibles est \(\binom{10}{3} = 120\). Les tirages favorables : \(\binom42\times\binom61 = 6\times6 = 36\). \(P = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}\).
Exercice 2
Avec la même urne, calculer la probabilité d'obtenir au moins une blanche.
Correction
L'événement contraire est « aucune blanche » : \(\dfrac{\binom63}{\binom{10}{3}} = \dfrac{20}{120} = \dfrac16\). Donc \(P = 1 - \dfrac16 = \dfrac56\).
Exercice 3
On lance un dé équilibré \(4\) fois. Calculer la probabilité de n'obtenir aucun \(6\), puis celle d'obtenir au moins un \(6\).
Correction
Les lancers sont indépendants : \(P(\text{aucun }6) = \left(\dfrac56\right)^4 = \dfrac{625}{1\,296}\). \(P(\text{au moins un }6) = 1 - \dfrac{625}{1\,296} = \dfrac{671}{1\,296}\).
Exercice 4
Un atelier a deux machines : \(A\) produit \(70\,\%\) des pièces avec \(3\,\%\) de défauts, \(B\) produit \(30\,\%\) avec \(8\,\%\) de défauts. Une pièce prise au hasard est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de \(A\) ?
Correction
Probabilités totales : \(P(D) = 0{,}7\times0{,}03 + 0{,}3\times0{,}08 = 0{,}021 + 0{,}024 = 0{,}045\). Formule de Bayes : \(P(A\mid D) = \dfrac{0{,}021}{0{,}045} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}\).
Exercice 5
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n = 6\) et \(p = \dfrac13\). Calculer \(P(X = 2)\), \(E(X)\) et \(V(X)\).
Correction
\(P(X=2) = \binom62\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^4 = 15\times\dfrac19\times\dfrac{16}{81} = \dfrac{240}{729} = \dfrac{80}{243}\). \(E(X) = np = 6\times\dfrac13 = 2\) et \(V(X) = np(1-p) = 6\times\dfrac13\times\dfrac23 = \dfrac43\).
Exercice 6
Une urne contient \(5\) boules numérotées de \(1\) à \(5\). On tire simultanément \(2\) boules et on note \(X\) le plus grand des deux numéros. Déterminer la loi de \(X\) et \(E(X)\).
Correction
\(\binom52 = 10\) tirages. Pour \(X = k\) (\(k\) de \(2\) à \(5\)), la deuxième boule est choisie parmi les \(k-1\) numéros inférieurs : \(P(X=k) = \dfrac{k-1}{10}\).
| \(k\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\frac1{10}\) | \(\frac2{10}\) | \(\frac3{10}\) | \(\frac4{10}\) |
La somme vaut \(\dfrac{1+2+3+4}{10} = 1\) ✓. \(E(X) = \dfrac{2\times1 + 3\times2 + 4\times3 + 5\times4}{10} = \dfrac{40}{10} = 4\).
Exercice 7
\(A\) et \(B\) sont deux événements tels que \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\) et \(P(A\cap B) = 0{,}2\). Les événements sont-ils indépendants ? Calculer \(P(A\cup B)\) et \(P(A\mid B)\).
Correction
\(P(A)\times P(B) = 0{,}5\times0{,}4 = 0{,}2 = P(A\cap B)\) : les événements sont indépendants. \(P(A\cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7\). \(P(A\mid B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5 = P(A)\), ce qui confirme l'indépendance.