L'essentiel en une page
| Forme | Technique |
|---|---|
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | terme dominant |
| \(\frac00\) | factoriser, conjuguer |
| \(\infty-\infty\) | conjugué ou factorisation |
| \(0\times\infty\) | réécrire en quotient |
Identités : \(x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)\) ; \(\sqrt A - \sqrt B = \dfrac{A-B}{\sqrt A + \sqrt B}\).
| Limite de référence | Valeur |
|---|---|
| \(\frac{\sin x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\frac{\tan x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\frac{1-\cos x}{x^2}\) en \(0\) | \(\frac12\) |
Continuité : \(f\) continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\) ; continue sur un intervalle si elle l'est en chaque point.
TVI : \(f\) continue sur \([a\,;b]\) avec \(f(a)f(b) < 0\) donne une solution ; strictement monotone, elle est unique.
Bijection : \(f\) continue strictement monotone sur \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ; \(f^{-1}\) est continue et de même sens de variation.
Ce que je dois savoir faire
- Lever toute forme indéterminée, y compris trigonométrique.
- Gérer le signe de \(\sqrt{x^2}\) en \(-\infty\).
- Prolonger une fonction par continuité.
- Montrer existence et unicité d'une racine.
- Montrer qu'une fonction est bijective et calculer \(f^{-1}(y)\).
Les pièges à éviter
- En \(-\infty\), \(\sqrt{x^2} = -x\).
- Continuité en un point : trois conditions à vérifier.
- Le TVI seul ne donne pas l'unicité.
- Pour une bijection, préciser l'intervalle image.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\) ? \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)\) ? Condition de continuité ? Que donne la stricte monotonie dans le TVI ?
Réponses
\(3\) ; \(0\) ; \(\lim f = f(a)\) ; l'unicité de la solution.