Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x} - x\right)\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\) (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} \to 2\).
- \(\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x} \to 1\times\dfrac12\times1 = \dfrac12\).
- \(\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} \to \dfrac32\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x-2} & \text{si } x \ne 2 \\ a & \text{si } x = 2 \end{cases}\). Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\).
Correction
Pour \(x \ne 2\) : \(f(x) = x - 1\), de limite \(1\) en \(2\). Il faut donc \(a = 1\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 4\).
- Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
- En déduire que \(f(x) = 0\) a une unique solution et la déterminer. (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\).
- \(f(1) = 0\) : c'est l'unique solution, puisque la fonction est strictement monotone.
Exercice 4 (4 pts)
Montrer que l'équation \(x^5 + x - 3 = 0\) admet une unique solution dans \(]1\,;2[\).
Correction
\(f\) est continue, \(f'(x) = 5x^4 + 1 > 0\) : strictement croissante. \(f(1) = -1 < 0\) et \(f(2) = 31 > 0\) : une unique solution dans \(]1\,;2[\).