Série 2 — indéterminations, continuité, TVI et fonction réciproque.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1} - x\right)\) puis \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1} + x\right)\).
Correction
En \(+\infty\). Le conjugué donne \(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\) ; en factorisant par \(x\) au dénominateur, la limite vaut \(\dfrac12\). En \(-\infty\). Le conjugué donne \(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}\). Ici \(\sqrt{x^2+x+1} = -x\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}\), donc le dénominateur se comporte comme \(-2x\). Le quotient tend alors vers \(\dfrac{x}{-2x} = -\dfrac12\).
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}\).
Correction
Conjugué : \(\dfrac{2x}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)} = \dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \to 1\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}\).
Correction
\(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\times\dfrac{x}{\sin x} \to \dfrac12\times1 = \dfrac12\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \ne 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}\). Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Correction
Sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est un quotient de fonctions continues de dénominateur non nul. En \(0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 = f(0)\) : la fonction est continue en \(0\), donc sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 5
Soit \(f(x) = x^3 + x\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Résoudre \(f(x) = 2\) puis donner \(f^{-1}(2)\).
Correction
- \(f\) est continue et \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : strictement croissante, avec des limites \(\mp\infty\) en \(\mp\infty\) : c'est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(x^3 + x - 2 = (x-1)(x^2+x+2) = 0\) donne \(x = 1\) (le second facteur a un discriminant négatif) : \(f^{-1}(2) = 1\).
Exercice 6
Montrer que l'équation \(\cos x = x\) admet une unique solution dans \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Correction
Soit \(g(x) = \cos x - x\) : \(g\) est continue, \(g'(x) = -\sin x - 1 < 0\) sur l'intervalle, donc strictement décroissante. \(g(0) = 1 > 0\) et \(g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{2} < 0\) : il y a une unique solution.
Exercice 7
Soit \(f\) continue sur \([0\,;1]\) telle que \(f(0) = f(1)\). Montrer qu'il existe \(c\in\left[0\,;\dfrac12\right]\) tel que \(f(c) = f\left(c + \dfrac12\right)\).
Correction
Soit \(g(x) = f\left(x+\dfrac12\right) - f(x)\) sur \(\left[0\,;\dfrac12\right]\) : \(g\) est continue. \(g(0) = f\left(\dfrac12\right) - f(0)\) et \(g\left(\dfrac12\right) = f(1) - f\left(\dfrac12\right) = f(0) - f\left(\dfrac12\right) = -g(0)\). Les deux valeurs sont opposées : d'après le TVI, \(g\) s'annule en un point \(c\).