L'essentiel en une page
| Forme | Technique |
|---|---|
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | termes de plus haut degré |
| \(\frac00\) | factoriser ou conjuguer |
| \(\infty - \infty\) | conjugué |
| \(\frac k0\) | signe du dénominateur |
Attention : en \(-\infty\), \(\sqrt{x^2} = -x\).
| Limite de référence | Valeur |
|---|---|
| \(\dfrac{\sin x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\dfrac{\tan x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) en \(0\) | \(\dfrac12\) |
Continuité en \(a\) : \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\) ; pour une fonction définie par morceaux, les limites à gauche et à droite doivent coïncider avec \(f(a)\).
TVI : \(f\) continue sur \([a\,;b]\) avec \(f(a)f(b) < 0\) donne au moins une solution ; si de plus \(f\) est strictement monotone, la solution est unique.
Image d'un segment : par une fonction continue, l'image de \([a\,;b]\) est un segment.
Ce que je dois savoir faire
- Lever toutes les formes indéterminées.
- Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux.
- Déterminer un paramètre pour assurer la continuité.
- Appliquer le TVI et encadrer une solution.
Les pièges à éviter
- Le signe de \(\sqrt{x^2}\) change en \(-\infty\).
- Le TVI donne l'existence ; la monotonie donne l'unicité.
- Une limite finie ne suffit pas pour la continuité : il faut \(f(a)\).
- Dans \(\frac{\sin(ax)}{bx}\), faire apparaître \(\frac{\sin u}{u}\).
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+1}{x^2}\) ? \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\) ? Condition de continuité en \(a\) ? Que donne le TVI ?
Réponses
\(2\) ; \(\dfrac12\) ; \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\) ; l'existence d'une solution.