Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3 + 2x}{x^3 - 1}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{3x}\) (2 pts)
Correction
- \(5\).
- \(x + 3 \to 6\).
- \(\dfrac23\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt x - 2}{x - 4}\).
Correction
Conjugué : \(\dfrac{1}{\sqrt x + 2} \to \dfrac14\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}\).
- Calculer les limites à gauche et à droite en \(2\). (3 pts)
- \(f\) est-elle continue en \(2\) ? (2 pts)
Correction
- À gauche : \(5\) ; à droite : \(5\) ; et \(f(2) = 5\).
- Oui, \(f\) est continue en \(2\).
Exercice 4 (4 pts)
Montrer que l'équation \(x^3 - 2x - 2 = 0\) admet une solution dans \(]1\,;2[\).
Correction
\(f\) est continue ; \(f(1) = -3 < 0\) et \(f(2) = 2 > 0\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution dans \(]1\,;2[\).