Série 2 — formes indéterminées, continuité et TVI.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\).
Correction
La première vaut \(\dfrac32\). Pour la seconde, \(\sqrt{x^2+1} = -x\sqrt{1+\frac1{x^2}}\) en \(-\infty\), donc la limite vaut \(-1\).
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}\).
Correction
Conjugué : \(\dfrac{x - 1}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2} \to \dfrac14\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\tan 5x}\).
Correction
\(\dfrac{\sin 3x}{\tan 5x} = \dfrac{\sin 3x}{3x}\times\dfrac{5x}{\tan 5x}\times\dfrac35 \to 1\times1\times\dfrac35 = \dfrac35\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}\). Étudier la continuité de \(f\) en \(1\).
Correction
\(f(1) = 2\) ; limite à gauche : \(2\) ; limite à droite : \(2\). Les trois coïncident : \(f\) est continue en \(1\).
Exercice 5
Montrer que l'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\), puis l'encadrer à \(0{,}25\) près.
Correction
\(f\) est continue, \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : strictement croissante ; \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\) : solution unique. \(f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0\) et \(f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0\) : \(\alpha\in\,]0{,}5\,;0{,}75[\).
Exercice 6
Soit \(f\) continue et strictement croissante sur \([0\,;4]\) avec \(f(0) = -3\) et \(f(4) = 9\). Que peut-on dire de \(f\left([0\,;4]\right)\) ?
Correction
L'image d'un segment par une fonction continue strictement croissante est le segment \(\left[f(0)\,;f(4)\right] = [-3\,;9]\).
Exercice 7
Déterminer \(a\) pour que la fonction \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x \ne 2 \\ a & \text{si } x = 2 \end{cases}\) soit continue en \(2\).
Correction
Pour \(x \ne 2\), \(f(x) = x + 2\), dont la limite en \(2\) vaut \(4\) : il faut \(a = 4\).