L'essentiel en une page
| Forme | Méthode |
|---|---|
| \(\frac00\) polynomiale | factoriser puis simplifier |
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | factoriser par le terme dominant |
| avec racine | quantité conjuguée |
| \(\infty-\infty\) | mettre au même dénominateur |
Continuité en \(a\) : \(f\) est définie en \(a\), la limite existe, et elle vaut \(f(a)\).
Prolongement par continuité : si \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell\) est finie, on pose \(f(a) = \ell\).
| Asymptote | Condition |
|---|---|
| Verticale \(x = a\) | \(\lim\limits_{x\to a}f = \pm\infty\) |
| Horizontale \(y = b\) | \(\lim\limits_{x\to\infty}f = b\) |
| Oblique \(y = ax+b\) | \(f(x)-(ax+b)\to0\) |
TVI : \(f\) continue sur \([a\,;b]\) et \(f(a)\,f(b)<0\) : il existe une solution de \(f(x) = 0\). Si \(f\) est strictement monotone, elle est unique.
En économie : un coût moyen a souvent une asymptote oblique, un bénéfice une asymptote horizontale (un plafond).
Ce que je dois savoir faire
- Lever une forme indéterminée.
- Factoriser par le terme dominant en \(\pm\infty\).
- Prolonger une fonction par continuité.
- Appliquer le TVI et encadrer une solution.
- Interpréter une limite en termes économiques.
Les pièges à éviter
- Remplacer \(x\) par la valeur avant de simplifier.
- Oublier le signe du dénominateur pour une limite à gauche ou à droite.
- Le TVI donne l'existence ; la monotonie donne l'unicité.
- Un coût moyen n'est défini que pour \(q>0\).
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\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{5x+1}{x}\) ? \(\lim\limits_{x\to0^+}\frac1x\) ? Prolongement de \(\frac{x^2-1}{x-1}\) en \(1\) ? Asymptote de \(y = \frac{3x}{x+1}\) en \(+\infty\) ?
Réponses
\(5\) ; \(+\infty\) ; \(f(1) = 2\) ; \(y = 3\).